Puissance récupérée

Fonctionnement électrique

1) Principe de la simulation

Pour avoir une idée du résultat à atteindre par notre projet, nous avons décidé de modéliser le problème. Le cerf-volant dans notre simulation a une surface de 1,5 m².

Nous avons commencé par paramétrer la position du cerf-volant. En modifiant les paramètres de position, on peut simuler le comportement de la voile pendant le vol et ainsi estimer la puissance disponible pendant la phase complète de montée en altitude. La deuxième phase (la phase de rembobinage) n’est pas modélisée et du coup on ne reçoit pas d’information concernant le rendement total du système. Notre hypothèse à ce point-là est que l’énergie récupérée pendant la première phase est largement supérieure à l’énergie consommée.

En multipliant cette puissance par un facteur d’efficacité, on peut estimer la puissance qui sera fournie réellement par notre système.

La simulation a été implémentée en Matlab. Le code se trouve en annexe. Nous avons choisi Matlab car dans ce langage, les calculs avec des matrices sont très faciles à implémenter.

Important : Dans cette modélisation on néglige l’effet de l'aérodynamique (la portance créée par des courants d’air dans la voile). On calcule seulement la puissance fournie par le cerf-volant qui dépend de sa position.

Le cerf-volant est modélisé par un carré dans l’espace euclidien. En paramétrant le cerf-volant, on le fait parcourir un huit dans l’espace.

Il faut alors projeter la surface normale à la direction du vent pour obtenir la puissance disponible par cycle.

2) Puissance du vent pour une surface donnée

Pour trouver une expression de la puissance pour une surface donnée on regarde l’énergie cinétique fournie par le vent.

En exprimant la masse en fonction de la masse volumique de l’air, la surface et de la vitesse on obtient l’expression de la puissance.

On remarque alors que la puissance dépend du vent et de la surface, et que la puissance varie avec le cube de la vitesse du vent. Ici on a utilisé l’approche typique pour calculer la puissance disponible par une éolienne. On néglige les effets de portance dans la voile. (cf. premier paragraphe de cette partie)

3) Paramétrage de la position

Nous avons utilisé 4 paramètres pour déterminer la position du cerf-volant.

Nous avons choisi une base sphérique pour définir la position du centre du carré.

Le rayon dépend du temps car les cordons sont tirés constamment pour générer de l’énergie. Le paramétrage des angles φ et θ va déterminer le comportement du vol du cerf-volant.

De plus, le carré peut tourner autour du vecteur ur dans le plan de uφ et uθ.

Pour réaliser cette rotation le quatrième paramètre α est utilisé.

Coordonnées sphériques

Figure de calcul

dessin du paramétrage (où α = χ)

4) Paramétrage des angles α, θ et φ

Pour obtenir un bon paramétrage pour les angles, nous avons utilisé les résultats de M.N. Noom dans sa thèse de master « Theoretical Analysis of Mechanical Power Generation by Pumping Cycle Kite Power Systems ».

Θ et φ peuvent être exprimés par un cas spécial d’une figure de Lissajous :

En différentiant, on obtient :

La figure avec Aθ =5°, Aφ =20°, θ0 = 25° et φ0 = 0°

α peut être exprimé par cette expression :

La direction du vent est constante dans notre modèle.

On peut changer la direction grâce à deux angles. Le vent a une certaine altitude, qui peut être estimé par la formule de Stull en connaissant un vent référence à une altitude référence avec z0 la rugosité de la surface :

z0 est compris entre 0,1 et 0,25 pour un endroit dans la campagne avec des champs agricoles.

De plus il faut isoler le vent apparent qui agit sur le cerf-volant donc il faut enlever la vitesse du cerf-volant par rapport au sol.

5) Modélisation du vent

6) Calcul de la surface apparente

Pour calculer la puissance, on a besoin de la surface qui est normale à la direction du vent. C’est la raison pour laquelle il faut projeter les 4 coins du carré dans ce plan.

La surface n’est alors plus nécessairement symétrique.

Pour calculer la surface d’un quadrilatère quelconque on peut utiliser la formule :

Avec e et f les diagonales.

7) Valeurs choisies

T=6; %%durée du cycle

Dans notre modélisation nous prenons une durée de 6 secondes par huit.

tintervall=.01; %%intervalle du temps pour l'integrale de Riemann

L’intégrale de Riemann est calculée avec des intervalles du temps de 10 ms.

Aphi=pi/36;%% paramètres pour le huit

Ateta=pi/9;%% paramètres pour le huit

Pour la modélisation des huit on a pris les mêmes valeurs que dans le travail de M.

Noom de TU DELFT.

phi0=0; % on définit le point de départ sur l'axe X

Degrés de départ au début du cycle. Les études de Roland Schmehl de la TU DELFT

montre que l’angle teta0 fonctionne bien pour une application si on choisit la valeur

comme au-dessus.

rstart=5; % Rayon

Rayon au début du cycle

vref=8; %% vent de référence 20 km/h à une altitude de 2 mètres

href=2; %%altitude de référence

Les valeurs décrivent la situation de référence pour tracer la fonction du vent. On a

choisi une altitude de 2m et un vent de 28,8 km/h

z0=0.25; %%z0 décrit la rugosité de la surface. On a choisi un paramètre représentant un paysage plat de type champs agricoles.

8) Présentation des résultats

Dans le diagramme on voit bien le développement de la puissance disponible. On peut distinguer que la puissance est fortement liée au vent. On réalise aussi qu’une puissance de 2,25 kW est disponible au moyenne pendant la phase de montée. De plus nous avons ajouté une boucle for pour trouver la valeur optimale de teta0 (angle d’inclinaison). La modélisation montre que la puissance est maximale pour un teta0 de 0.93 radians donc de 53,3°.

Si on multiplie le résultat par le degré d’efficacité, on aura une première approximation de la puissance fournie par notre système. Dans les études de l’équipe de Kitepower on remarque que 21 % est une valeur réaliste du degré d’efficacité pour une première approche.

Ce modèle aide beaucoup pour bien comprendre le comportement du cerf-volant d’une manière mathématique. Après avoir fait plusieurs expérimentations nous avons réalisé qu’en réalité l’effet des courants d’air est beaucoup plus important que l’effet du vent considéré dans cette modélisation. En réalité il y a deux instants par huit avec une puissance très élevée au point de la vitesse maximale du cerf-volant.

Une autre utilisation pourrait être intéressante pour la simulation. Pendant une conversation avec le PDG de l’entreprise Ampyxpower au forum pour l’énergie éolienne à Hambourg, nous avons appris que pour le système d’auto-pilotage une modélisation du vol est très utile.

On pourrait améliorer l’algorithme développé par le groupe précédent pour la détection du cerf-volant au ciel avec une caméra et le combiner avec notre paramétrage. L’information détectée par la caméra pourrait être comparée avec la position souhaitée du cerf-volant donnée par le paramétrage. La réaction du système d’auto-pilotage peut être déterminée par l’écart entre les deux informations.

L’algorithme devrait être adapté tout en considérant la distance du cerf-volant ( cf. capteur de vitesse), la vitesse réelle angulaire de téta,…